Open day 2016-2017

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Funzioni trigonometriche nella storia e nei fenomeni reali (a.s. 2007-08)

Il progetto è stato realizzato dalla prof.ssa Angela Berto nell’ambito del più vasto progetto ministeriale Lauree scientifiche, come già nell'anno scolastico 2006-07.

Nell’anno scolastico 2007-08 gli studenti di una classe quarta  dell’indirizzo sociopsicopedagogico Brocca hanno seguito un laboratorio sulle funzioni trigonometriche.  Scopo del laboratorio è stato quello di aiutare gli studenti a costruire le loro conoscenze in modo attivo, cercando di sviluppare lo spirito critico, la capacità di confronto e l’esigenza di lavorare in gruppo.
 

Premesse

L’esigenza di un rinnovamento nella didattica della matematica è ormai ampiamente condivisa da tutte le componenti della scuola. Alle tradizionali motivazioni interne alla dinamica didattica, principalmente legate alle difficoltà di apprendimento, si stanno aggiungendo e sovrapponendo nuove e pressanti esigenze provenienti dal mondo esterno.

L’attuale società della conoscenza richiede un continuo aggiornamento delle conoscenze e delle competenze individuali. Per affrontare e risolvere problemi e compiti del quotidiano e svolgere un ruolo consapevole e attivo nella società, non solo è indispensabile saper utilizzare conoscenze ed abilità apprese a scuola, ma occorre anche essere in grado di continuare ad apprendere dopo la conclusione del percorso scolastico.

La matematica è una disciplina fortemente coinvolta in questo processo, in quanto strumento indispensabile per la descrizione e la comprensione del mondo circostante. In particolare, i modelli matematici, strumento chiave del metodo scientifico, si stanno diffondendo in tutti gli ambiti, invadendo prepotentemente il nostro quotidiano.

La pressante richiesta di competenze matematiche a tutti i livelli si scontra tuttavia con la difficoltà di apprendimento di questa disciplina, che negli ultimi anni sembra essersi addirittura acuita. Sempre più frequentemente gli studenti tradiscono un grave disagio nei confronti della matematica; alcune indagini recenti hanno evidenziato che è considerata una scienza astratta, lontana dalle loro esperienze e dai loro interessi, di scarsa o nessuna utilità per la vita di tutti i giorni. Unamontagna fredda e temibile, troppo difficile da scalare, un’impresa a cui spesso si rinuncia in partenza.

Non solo si può sicuramente confermare questo disagio, ma  si può anche lamentare una crescente difficoltà ad avviare il processo educativo e instaurare un dialogo costruttivo con gli studenti. È sempre più difficile ed estenuante interessare e coinvolgere gli allievi in un percorso di apprendimento, tenuto conto dei brevi e rari momenti che i giovani sono disposti a dedicare allo studio codificato.

Gli obiettivi del progetto

Il progetto, rivolto a 24 studenti di una classe quarta superiore a indirizzo socio-psico-pedagogico, ha avuto l’ambizione di:

  • avanzare precise proposte didattiche per sviluppare “insospettate” relazioni con il mondo reale;
  • stimolare gli studenti ad acquisire una conoscenza consapevole dei linguaggi scientifici e dei metodi per imparare ad apprendere;
  • offrire un insegnamento aperto all’innovazione didattica, proponendo un percorso di educazione alla modellizzazione.

Educare alla modellizzazione comporta un modo diverso di proporre lo studio della matematica, rivolto alla descrizione e alla comprensione del mondo reale.

Pertanto, punto centrale della proposta è stata una interazione dinamica tra mondo reale e mondo matematico.

Partendo da situazioni e problematiche della realtà, con l’obiettivo della loro formalizzazione matematica, sono stati introdotti in modo naturale concetti e strumenti matematici che sono stati acquisiti e testati nella fase di studio del modello. La successiva fase di validazione del modello ha consentito di perfezionare gli strumenti, riflettere sulla teoria e far emergere nuove esigenze.

 

Gli strumenti

Gli strumenti utilizzati sono stati:

  • software specifici per la didattica;

Sono stati utilizzati diversi software: Derive per la matematica, Science Workshop per le esperienze di fisica on line. Tali software hanno permesso di vedere graficamente subito i risultati e, quindi, hanno consentito agli studenti di capire meglio ciò che stavano analizzando.

  • il foglio elettronico;

Il foglio elettronico, pur non essendo un software specifico per la didattica, ha permesso svariate applicazioni, in particolare quelle relative alla rappresentazione e all’analisi dei dati.

  • la storia della matematica (in particolare, della trigonometria).

La storia della trigonometria, pur presentando contenuti suoi propri e possibilità di sviluppi su vari fronti (sottolineo soprattutto gli aspetti interdisciplinari con la filosofia, con la fisica, con la musica e con molte altre discipline), è stata un efficace strumento di laboratorio, adatto a motivare adeguatamente e ad indicare possibili percorsi didattici per l’apprendimento di importanti contenuti matematici. Infatti, la storia della trigonometria ha fornito l’opportunità di scegliere un percorso didattico aperto alle connessioni interdisciplinari e capace di suscitare l’interesse degli allievi.

La costruzione di significati, dunque, è stata strettamente legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si sono sviluppate durante l’esercizio di tali attività. Uno strumento, infatti,  è sempre il risultato di un'evoluzione culturale; esso è prodotto per scopi specifici e, conseguentemente, incorpora idee. Sul piano didattico ciò ha avuto alcune implicazioni importanti in quanto il significato non può risiedere unicamente nello strumento, né può emergere dalla sola interazione tra studente e strumento. Il significato risiede negli scopi per i quali lo strumento è usato, nei piani che vengono elaborati per usare lo strumento. Per questo motivo,  l’appropriazione del significato ha richiesto anche riflessione individuale sugli oggetti di studio e sulle attività proposte.

Le interazioni tra le persone

La costruzione di significati è strettamente legata alla comunicazione e alle condivisione delle conoscenze in classe, sia attraverso i lavori in piccoli gruppi di tipo collaborativo o cooperativo, sia attraverso lo strumento metodologico della discussione matematica, opportunamente gestito dall’insegnante. Mi soffermo, a scopo esemplificativo per quello che riguarda la gestione delle interazioni sociali in classe, sulla discussione matematica.

Un primo livello di discussione  si è sviluppato dopo la lettura del testo di un problema. Un secondo livello di discussione matematica si è svolto al termine della soluzione (individuale o di gruppo) o, talvolta, in un momento cruciale della soluzione stessa. Tale discussione è stata centrata sul confronto delle soluzioni realizzate dagli alunni e si è sviluppata attraverso la presentazione delle proprie soluzioni, oltre che sull'interpretazione e sulla valutazione di quelle realizzate dai compagni. Un terzo livello di discussione matematica ha riguardato la correttezza e la ricchezza delle soluzioni proposte, la coerenza e l'attendibilità, il livello di generalizzazione adottato. Quest'ultima fase ha favorito la costruzione di significati che andavano oltre quelli direttamente coinvolti nella soluzione del compito, per consentire agli  studenti di entrare in contatto con  nuovi aspetti della cultura matematica, favorendo in particolare, un approccio, graduale ma sistematico, al pensiero teorico.

Pertanto, gli studenti, suddivisi in sei gruppi di quattro elementi ciascuno, hanno lavorato con impegno, imparando a confrontarsi su quanto stavano osservando. Talvolta, è emerso quanto fosse difficile per loro utilizzare una nuova conoscenza; tuttavia, con tenacia, sono riusciti a conseguire quegli strumenti metodologici indispensabili a sviluppare un lavoro autonomo. Solo un gruppo, il più debole dal punto di vista matematico, ha avuto qualche difficoltà, anche se la mia impressione è stata che, sentendo la loro debolezza, gli studenti, a volte, preferissero rinunciare a priori.

Da parte mia, poi, ho sempre cercato di chiudere ogni lezione con qualcosa che incuriosisse gli allievi, in modo che questo potesse essere esaminato più approfonditamente la volta successiva e credo che questo metodo abbia funzionato. Inoltre, per semplificare il loro lavoro, ho creato un’aula virtuale, come avevo già provato a fare in altre occasioni: poter lavorare in gruppo anche a casa e poter usare strumenti sincroni e asincroni è stato gradito dagli studenti e ha reso questa occasione straordinaria. Infatti, la pubblicazione di materiali comporta l’esercizio critico delle conoscenze e la pratica al lavoro congiunto con i compagni con lo scopo di perseguire obiettivi comuni.

Le verifiche

Al fine di verificare l’apprendimento degli studenti, ho fatto svolgere loro due prove, una intermedia e l’altra finale.

L’esito della prima prova è stato abbastanza soddisfacente. Gli studenti hanno dimostrato sufficiente sicurezza nel risolvere esercizi relativi al passaggio dai radianti ai gradi e viceversa, alla determinazione di angoli sulla circonferenza goniometrica e alla conoscenza dei teoremi sul triangolo rettangolo. Hanno, inoltre, rivelato di avere sufficienti conoscenze di trigonometria per risolvere esercizi relativi all’applicazione di formule, ma di trovare ostacoli nel calcolo algebrico (programma del biennio!). Hanno dimostrato, poi, di avere difficoltà nel disegnare il grafico di una funzione trigonometrica  e nel determinare il periodo di una funzione trigonometrica.

L’esito della seconda prova può essere definito buono. Infatti, è stata evidenziata qualche lacuna relativamente all’applicazione delle formule, accettabile la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni, sufficiente la soluzione algebrica di equazioni, errori non gravi nella soluzione di disequazioni. Inoltre, buona è la risoluzione dei triangoli rettangoli, mentre permane qualche difficoltà nella risoluzione dei triangoli qualunque.

Il prodotto finale

Gli studenti hanno realizzato un ipertesto, dal titolo Le funzioni trigonometriche nella storia e nei fenomeni reali,  riprodotto e diffuso come CD-ROM,  che a partire da percorsi di base precostituiti, consente all'utente di "navigare" tra gli elementi di informazione presenti, secondo associazioni e collegamenti mentali personali.

Tale ipertesto  ha  una valenza metacognitiva in quanto un sito web aiuta chi lo elabora a riflettere sul proprio processo di apprendimento allo stesso modo di una mappa concettuale.

Inoltre, la realizzazione di questo lavoro ha insegnato agli studenti a comunicare e a collaborare; li ha allenati a lavorare con diligenza, ordine e precisione; li ha abituati a cogliere e ad elaborare personalmente e criticamente le informazioni. Al di là del lavoro realizzato, questi sono senza dubbio i risultati conseguiti più rilevanti.

Osservazioni

A ogni livello scolastico il risolvere problemi offre occasioni importanti agli allievi per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati nozioni già apprese e per verificare l'operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza. Affinché il porre e risolvere problemi sia effettivamente utile a mobilitare risorse intellettuali anche al di fuori delle abilità strettamente matematiche, contribuendo in tal modo alla formazione  generale degli allievi, è necessario che quelli  proposti siano autentici problemi per gli allievi e non semplici esercizi a carattere ripetitivo.

Le competenze degli allievi, soprattutto per quanto riguarda i problemi, difficilmente possono essere conseguite in tempi medio-brevi.

Un insegnamento per problemi è un’attività impegnativa, ma realizzabile; il tempo si deve eventualmente recuperare da una riduzione degli argomenti puramente eruditi e dalla semplificazione degli esercizi proposti.  Infatti, penso che sia meglio presentare pochi esercizi capiti e discussi a fondo che tanti esercizi di pura routine. Inoltre, fare molti esercizi “dello stesso tipo” è importante per acquisire scioltezza e sicurezza, ma può offuscare lo spirito critico se non vi è sufficiente variabilità.

Non tutto l'insegnamento può essere svolto per problemi, sia per mancanza di tempo, sia per evitare il rischio di un’eccessiva frammentarietà. Inoltre, l’attività “per problemi” può essere più efficace, se svolta in un contesto interdisciplinare.

Ho ritenuto, poi,  opportuno che, discutendo il significato delle soluzioni trovate, gli allievi imparassero a distinguere la “matematica dell’incerto”, in senso probabilistico, dalla “matematica dell’impreciso”, propria del calcolo numerico, dalla “matematica dell'esatto” (ad esempio,  il numero p è un numero trascendente, limite di una certa successione, che vale circa 3,14).

Nel portare avanti questo laboratorio di matematica, dunque, ho sempre cercato di:

  • non ridurre le tecniche a casistiche  e gli esercizi a routine;
  • non proporre problemi scarsamente significativi o di difficoltà sproporzionata rispetto alla classe;
  • non lasciar accettare una soluzione “perché è venuta così”;
  • non ridurre la matematica alla pura fase deduttiva.

La voce degli studenti

Al termine dell’attività, gli studenti hanno espresso le loro impressioni sul lavoro svolto nel forum dell’aula virtuale. Riporto qui di seguito alcuni pensieri particolarmente significativi, che mettono in evidenza quanto gli alunni abbiano gradito questa attività e abbiano apprezzato il metodo di lavoro.

…Il lavoro svolto a mio parere è stato molto interessante proprio perchè non ho avuto un bell'approccio con la trigonometria, ma andando a studiarne le origini il mio rapporto con l'argomento trigonometrico è cambiato in positivo.

…Abbiamo appreso argomenti complessi in modo piacevole. C'è stata una buona collaborazione da parte di tutti i gruppi.

…Il lavoro svolto si è dimostrato interessante per gli approfondimenti eseguiti sulla storia della trigonometria come ramo della matematica, si è rivelato costruttivo soprattutto per le molteplici materie che sono state toccate e per la suddivisione del lavoro da svolgere in gruppi. 
…Il lavoro svolto ha evidenziato le relazioni della matematica con altre materie e discipline, e come la matematica è stata fondamentale per lo sviluppo di esse e del sapere umano soprattutto su un livello pratico. L'intera esperienza è stata costruttiva anche per come è stato suddiviso il lavoro, formando cioè gruppi che hanno interagito tra di loro.

…Questo lavoro è stato molto interessante soprattutto sul piano informatico poiché abbiamo avuto il modo di imparare molte curiosità sull'utilizzo dei programmi del computer. 
Mi ha stupito che per la prima volta abbia funzionato bene il lavoro di gruppo sia nel complesso della classe sia all'interno dei singoli gruppi. Nel nostro gruppo c'è stata molta collaborazione e interesse soprattutto nell'ultima parte che richiedeva molto più impegno! Ci ha divertito la parte dei grafici dove abbiamo, tramite funzioni matematiche, disegnato onde strane e "pittoriche".

…Questo lavoro ci ha permesso di comprendere meglio la materia con un approccio più rilassato. Pensiamo che sia importante conoscere la storia oltre che la teoria degli argomenti che andiamo a studiare...

…Le mie impressioni sono buone, è stato un lavoro interessante e costruttivo. 
Mi ha aiutato a capire l'uso di alcuni programmi di informatica inoltre ho capito molto bene la materia. Ha anche fornito a tutti la conoscenza della storia della trigonometria che, all'inizio sembrava un argomento solo matematico invece si è rivelato molto interessante dal punto di vista storico. 
…Il lavoro svolto sulla trigonometria ci ha permesso di conoscere in modo più approfondito, oltre che alcune tecniche e nuovi programmi informatici, la materia. Da parte di tutti i gruppi della classe c'è stata una buona collaborazione e interesse ed è stato utile per apprendere più piacevolmente gli argomenti complessi di matematica e fisica.

…Secondo me il lavoro che abbiamo svolto è stato molto interessante sia dal lato informatico che dal punto di vista matematico, facendoci scoprire le origini della trigonometria e i suoi diversi utilizzi. Questo lavoro è costruttivo e può essere utile per chi ha delle difficoltà con la matematica poichè è un diverso approccio che risulta più semplice e più interessante.

…Ritengo che il lavoro inerente la trigonometria abbia avuto un risvolto positivo in quanto c'è stata la collaborazione di tutti i gruppi e c'è stato anche un grande interesse nella ricerca di notizie e una buona divisione del lavoro.

…La mia opinione è più che positiva in quanto l’ho trovato un buon metodo di ripasso dell'argomento e un motivo in più per stare uniti tra di noi. Penso che possa anche essere utile per chiunque abbia bisogno di approfondimenti su questo argomento poiché è stato svolto un buon lavoro da parte di tutta la classe.

…Sostengo che questo lavoro sia servito moltissimo alla classe soprattutto perchè ci ha fatto scoprire nuove tecniche informatiche, nuove scoperte storiche sulla trigonometria e personalmente mi ha fatto capire il bisogno indispensabile della matematica e,in questo caso della trigonometria,nella vita quotidiana.

…Sono molto soddisfatta del lavoro, interessante il metodo di imparare la matematica attraverso progetti a cui si può partecipare attivamente e in gruppo. Comunque, il lavoro finale è gratificante e abbiamo anche imparato nuove cose in informatica.

Il positivo indice di gradimento delle attività svolte dagli studenti si può anche evincere dai dati relativi ai  quesiti di un questionario loro proposto. Nel suddetto questionario, gli studenti hanno anche chiesto che nell’insegnamento della matematica si dia maggiore attenzione alle implicazioni nella vita quotidiana e all’aspetto sperimentale, al fine che tutti capiscano che la matematica non è una scienza astratta, lontana dalle loro esperienze e dai loro interessi, di scarsa o nessuna utilità per la vita di tutti i giorni.

Scarica il file, scompattalo, clicca su index e visualizza il lavoro prodotto dagli studenti.

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